số pi và những điều thú vị

Một khám phá mới đây đã cho biết rằng lý thuyết hỗn độn có thể mang lại một chút trật tự cho chuỗi số lẻ đầy bí hiểm của số pi. Nhưng cái chuỗi số rắc rối này vẫn không ngừng ám ảnh các nhà toán học…
Muốn chọc tức một nhà toán học thì có một cách rất dễ: cứ bảo anh ta vẽ một vòng tròn, đo chu vi vòng tròn đó, đem chu vi đó chia cho đường kính rồi ghi lấy số thành. Mới đầu anh ta đưa ra một giải đáp phỏng chừng là: 3,14. Và nếu tính kỹ hơn, anh ta sẽ đưa ra một con số càng lúc càng nhiều số lẻ: 3,14159265… rồi anh ta lại có thể viết ra tới 200 tỷ số lẻ nếu anh ta lấy từ những tài liệu mà người ta vừa mới tính ra hai năm nay.

Cứ hỏi cảm nghĩ của anh ta về những số lẻ nhiều như thác lũ này. Có một thứ tự nào không? Các chữ số xuất hiện ra có theo một quy luật nào không? Hay là sự xuất hiện đó chẳng thưo một trật tự nào cả, xem như là các chữ số vì ngẫu nhiênmà có? Câu hỏi có vẻ hời hợt như thế nhưng nhà toán học sẽ lúng túng khi trả lời. Mà đúng như thế, anh ta không biết gì cả để trả lời cho ra lẽ, thế mới tức…

Thì đồng ý rằng chuyện đó trong thực tiễn chẳng có gì quan trọng cả. Một bài tính vật lý chỉ cần tới vài ba chục con số lẻ là cùng. Đó là một thách thức mà các nhà toán học phải đảm nhận: có hay không một trật tự trong các số lẻ của pi, một hằng số căn bản nhất? Một thách đố mà một khi chưa có giải đáp sẽ luôn ám ảnh đầu óc các nhà toán học. Vì đó cũng gần như là một việc bảo vệ danh sự.

Chỉ có một điều biết chắc chắn đã 300 năm nay: pi là một số vô tỷ, ta không thể viết nó dưới dạng phân số của 2 số nguyên. Các số hữu tỷ như ¾ (số thập phân là 0,75) hay 1/11 (0,09090909…) mà số lẻ làmột số hữu hạn hay là là một số có chu kỳ. Trong khi đó, các số lẻ của pi thì vô hạn và không thấy có một chu kỳ nào cả.

Nhưng các nhà toán học vẫn chưa thỏa mãn với nhận xét trên: vô tỷ nhưng chưa hẳn là vô trật tự. Thử lấy con số Champemowne mà khi viết các số lẻ thì cũng như ta tuần tự đếm các số nguyên: 0,12345678910111213… các con số nối đuôi nhau kéo dài tới vô tận, không lạp lại, nhưng theo một thứ tự rõ rệt. Và như thế, câu hỏi về những số lẻ của pi vẫn chưa có giải đáp. Có khác biệt nào giữa các số lẻ của số pi và một dãy số lấy ra một cách ngẫu nhiên?

Pi có phải là một số chuẩn không?

Đặc điểm chính của dãy số ngẫu nhiên đã được Emile Borel, một người Pháp, định nghĩa: tách chuẩn (normalité). Một số được gọi là chuẩn, nếu mỗi chữ số của cái chuỗi vô tận của các số lẻ xuất hiện cùng tần số. Điều đó có nghĩa là chữ số 1 là 10%, chữ số hai là 10%, và chữ số 3, chữ số 4 cho tới chữ số 9 cũng như thế. Chưa hết, những số gồm 2 chữ số cũng phải được xuất hiện cùng tần số là 1%. Những số gồm 3 chữ số với cùng tần số là 1/1000… Nói tóm lại, trong một số chuẩn, những đoạn số có cùng chiều dài phải được xuất hiện cùng tần số. Nếu một chữ số xuất hiện nhiều lần hơn các chữ số lẻ khác thì số đó không được gọi là số ngẫu nhiên .

Pi có đủ các tiêu chuẩn thống kê này không? Thoạt nhìn thì có. Năm ngoái, nhà thống kê học người Mỹ Ted Jaditz đã nghiên cứu tần số của các đoạn số cho tới 16 chữ số của pi. Và việc kiểm nghiệm thống kê này đã chứng minh rằng không có sự sai biệt đáng kể nào khi đem so sánh với một số ngẫu nhiên. Lúc đầu, ông ta thấy chữ số 7 xuất hiện ít, chỉ có 7,2% trong 500 số lẻ đầu tiên. Nhưng sau đó, cái khác thường này đã vội biến mất: chữ số 7 đã xuất hiện 9,99998% lần trong 200 tỷ số tiếp theo. Như vậy thoạt nhìn thì pi là một số chuẩn.

Nhưng khám phá này vẫn chưa làm vừa lòng các nhà toán học. Có gì để chứng minh rằng chữ số 7 lại không xuất hiện với một tần số nhỏ hơn kể từ số lẻ ngàn tỷ? Hay ngược lại, kể từ số lẻ ngàn tỷ, chữ số 7 lại xuất hiện với tần số cao hơn? Chẳng có một kiểm nghiệm thống kê nào có thể kiểm chứng được tánh chuẩn của vô tận các số lẻ…

Do đó, cái mà các nhà toán học cần là một chứng minh, một chằng chứng toán học của tánh chuẩn của pi. Và chưa thấy ai đã làm được điều đó. “Ngoài cái việc tính tần số ra, người ta vẫn chưa biết nếu tất cả các chữ số đã xuất hiện ít ra là một lần trong các số lẻ của pi”, ông Jean Paul Delahaye, nhà nghiên cứu ở Viện tin học cơ bản thành phố Lille và tác giả cuốn sách Fasciant nombre pi, đã phải bực mình thốt lên như thế.

Một tia hy vọng đã chiếu xuống cho các nhà toán học. Cách đây sáu năm, hai nhà nghiên cứu Canada, Simon Plouffe và Peter Borwein đã cộng tác với nhà nghiên cứu Mỹ David Bailey và đã tìm ra một công thức có thể tính bất kỳ chữ số nào của pi mà không cần biết tới những chữ số nằm phía trước. Jean Paul Delahaye nhấn mạnh: “Kết quả này đã làm mọi người ngạc nhiên. Cách đây vài chục năm, những nhà toán học sẽ cười ngạo mạn, nếu bạn hỏi họ có một công thức nào như vậy không!” nhưng khuyết điểm của công thức này là nó chỉ đúng với cách viết nhị phân, chứ không đúng theo cách viết thập phân của pi (3,14159…) viết số theo lối nhị phân là cách viết trong tin học, chỉ dùng số 0 và số 1. Theo cách viết nhị phân, thì pi sẽ được viết thành: 11,0010010000111… thí dụ, công thức Bailey-Borwein-Plouffe cho phép ta tính ra chữ số lẻ thứ năm tỷ, viết theo lối nhị phân: đó là số 0. Nhưng công thức này không cho phép ta tìm ra chữ số lẻ nếu viết theo cách thập phân.

Thuy vậy, công thức này đã giúp ta hiểu rõ hơn về tánh chuẩn của pi. Nhờ “công thức thần diệu” đó, David Bailey đã nhận xét rằng, nếu viết theo lối nhị phân, thì từ bất kỳ chữ số nào, ta cũng có thể tìm ra chữ số tiếp theo. Sự nối tiếp của 0 và 1 trong cách viết nhị phân của hằng số pi chỉ là kết quả của một phép tính mà ta sẽ lặp đi lặp lại.

Mặt khác, phương thức này lại rất giống cách tính angorit trong tin học: dùng angorit để tạo ra một chuỗi số ngẫu nhiên (thí dụ như trong cách giải mật mã). Cũng có nghĩa là áp dụng công thức vào một con số nào đó, rồi lặp đi lặp lại phép tính trên các số thành vừa có, thì ta được một chuõi số thoạt nhìn có vẻ như không theo một thứ tự nào cả và hình như rất ngẫu nhiên. Một agorit như thế được gọi là “hỗn độn”: chỉ cần con số đầu tiên khácđi một chút hay công thức cũng khi một chút hayc ông thức cũngkhác đi một chút thì chuỗi số sẽ hoàn toàn khác hẳn. Như thế, các số lẻ của pi có tính cách hỗn độn.

David Bailey nói thêm: “Liền sau khi vừa khám phá ra công thức này, tôi có cảm tưởng như đã tìm ra sợi dây nối giữa số lẻ của pi và động lực hỗn hợp”. Như thế, nhà toán học linh cảm đã gặp được một thông tin quan trọng hàng đầu. Tánh hỗn độn của pi có thể cắt nghĩa cái vẻ vô trật tự của các số lẻ? Ít ra là có thể chứng minh được tánh chuẩn của nó, điều đó có nghĩa là mỗi chữ số được xuất hiện đồng đều như nhau, giống như trong dãy số vô trật tự?

David Bailey nhìn nhận: “Hồi đó, tôi chưa đủ khả năng tìm hiểu sâu vào cái trực giác này. Sự kết nối giữa tánh chuẩn và tánh hỗn hợp đã chỉ thực hiện được gần đây bởi Richard Crandall”. Và 2 nhà nghiên cứu đã công bố kết quả vào tháng 6.2001 trong tạp chí Experimental Mathematics.


Tính hỗn độn của pi có thể cắt nghĩa cái vẻ vô trật tự đó không?


Trọng tâm của việc này là thiết lập một giả định (conjecture) mới. Giả định là một giả thuyết được coi như đúng nhưng chưa được chứng minh. Với giả định Crandall-Bailey, ta có thể viết các số theo lối nhị phân bằng cách áp dụng công thức từng bước một. Đó cũng là trường hợp của pi, như David Bailey đã nhận xét.

Theo giả định của hai nhà nghiên cứu, hoặc là dãy số 0 và số 1 của các hằng số hỗn độn được xem như là một dãy tuần hoàn, mà chu kỳ sẽ lặp đi lặp lại cho đến vô tận, hoặc là những con số 0 và những con số 1 được phân phối một cách đồng nhất. Trong trường hợp thứ nhất, hằng số đó là một số chuẩn. Mặt khác, người ta cũng biết rằng pi không phải là một số hữu tỷ… do đó, pi là một hằng số chuẩn. Đó là điều phải chứng minh.

Nếu ta có thể chứng minh giả định này thì ta đã chứng minh được rằng pi là một số chuẩn. David Bailey tự hào: “Chúng tôi đã chuyển dịch một bài toán không giải đáp được của số học thành một bài toán về cơ động học hỗn độn, dễ giải đáp hơn”. Dễ giải đáp hơn? Chưa chắc như vậy đâu. “Tôi không biết bằng cách nào người ta có thể chứng minh giả định này”, Jeffrey Lagarias, một chuyên viên người Mỹ về động cơ học ngẫu nhiên, đã phải thú thật như thế sau khi đã nghiên cứu khám phá của D. Bailey.

Giới toán học đã tuần tự nghiên cứu giả định này trong vòng hơn một năm nay, nhưng chưa thấy ai đề nghị một hướng ra nào. Công bố của D. Bailey vẫn y nguyên, như thế cũng có nghĩa là thừa nhận sự thất bại. “Nếu việc làm của Bailey và Crandall đã biến đổi cách nhìn về vấn đề, nhưng nó vẫn chưa thay đổi toàn diện vấn đề. Tánh chuẩn của pi đã là một câu hỏi không giải đáp, thì bây giờ nó vẫn làmột câu hỏi không giải đáp”. Nhưng còn tệ hơn thế nữa: giả như một ngày nào đó, người ta chứng minh được giả định Bailey-Crandall thì đó vẫn chưa đủ để khẳng định rằng pi là một số chuẩn đâu. Lý do là không phải tại vì pi là số chuẩn trong cách viết nhị phân rồi sẽ là số chuẩn trong cách viết thập phân. Những con số 0 và số 1 có thể được phấn phối rất đồng thời trong cách viết nhị phân, nhưng trong cách viết thập phân (viết bằng số 0,1,2,…,9) thì vẫn chưa chắc. Muốn khùng luôn…

Những tiêu chuẩn còn khiếm khuyết


Lại còn tệ hơn thế nữa: tánh chuẩn chưa phải là tiêu chuẩn đủ để định nghĩa tánh ngẫu nhiên của một dãy số. Thử xem lại số Champemowne (0,123456789101112…). Đó là một số chuẩn vì các số lẻ được phân phối một cách đồng nhất, nhưng mà dãy số lẻ đó cũng hoàn toàn trật tự… các nhà tin học đã tìm kiếm những tiêu chuẩn khác để ước lượng tánh ngẫu nhiên tạo thành bởi những dãy số. Các dãy số con tự nhiên mà ta đã rút được (bằng cách lấy ra một con số trên mười chẳng hạn) phải là một dãy số chuẩn. Hay là tốc độ để các tần số xích lại gần nhau phải theo một công thức rõ rệt… “Người ta có thể tìm ra bao nhiêu tiêu chuẩn cũng được, nhưng những tiêu chuẩn này không bao giờ đủ định nghĩa một cách chính xác tánh ngẫu nhiên của một dãy số”. Thống kê học không thể nào cho ta một định nghĩa chính xác về ngẫu nhiên. Dù pi có thể nghiệm đúng tất cả các tiêu chuẩn thống kê, nhưng cũng đừng mong như vậy là ta đã chứng minh được tánh ngẫu nhiên của nó.

Trong suốt thế kỷ thứ 20, các nhà toán học đã hiểu rằng chỉ có một cách định nghĩa được tánh ngẫu nhiên là phải dùng lý thuyết thông tin (théorie de l’information): một dãy số là ngẫu nhiên nếu ta không thể tóm lược chúng, không thể nén chúng lại, không thể tổng hợp chúng bằng một công thức ngắn. Nhưng mà pi lại có thể tóm tắt bằng nhiều phương trình. Chẳng hạn như ta chỉ cần cộng các số 4/1- 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9 - 4/11 +… và cứ tiếp tục như thế, rồi từ từ ta có thẻ tìm thấy tất cả các số lẻ nổi tiếng của pi: pi không phải là một số ngẫu nhiên!

Như vậy thì pi theo một trật tự huyền bí nào? Những nhà toán học thừa biết rằng họ đang phải đối đầu với với một dãy số rất đặc biệt, nhưng họ không biết là đặc biệt như thế nào. Cái trật tự duy nhất của các số lẻ của pi mà họ đã kiểm tra ra được là cái trật tự của … các số lẻ của pi! Có đáng tức không?