Let the solutions say your theorem.

1.Cho tam giác ABC có B,C cố định. Vẽ hình vuông ABDE và ACFK hướng ra ngoài tam giác. CMR: DK luôn đi qua một điểm cố định khi A chạy trên mặt phẳng.(Proposed by Bùi Đăng Khoa, 11A1, Lê Quí Đôn, Đà Nẵng)
Bài này chính là Bottema's Theorem nổi tiếng cách chứng minh nó cũng rất đơn giản(chỉ dùng kiến thức lớp 9).
2.Consider triangle ABC with angle bisectors AA1, BB1, CC1. Denote by U the intersection of AA1 and B1C1. Let V be the projection from U onto BC. Let W be the intersection of the angle bisectors of ∠BC1V and ∠CB1V . Prove that A, V,W are collinear.(Proposed by Nguyễn Hữu Minh Tuấn, 11A1, Lê Quí Đôn, Đà Nẵng)
Lời giải của nó(Proof)
Sử dụng định lí mở rộng của định lí Blanchet. sẽ =>đpcm
3.Cho tam giác ABC nhọn. Lấy tam giác MNE nội tiếp tam giác ABC (các đỉnh của tam giác MNE lần lượt ở trên các cạnh của tam giác ABC). Tìm vị trí của tam giác MNE sao cho tam giác MNE có chu vi nhỏ nhất. (Proposed by Đỗ Viết Lân, 11A2, Lê Quí Đôn, Đà Nẵng)
Bài này chính là BĐT Fagnano nổi tiếng.
Cách cm BĐT này sử dụng vectors rất nghệ thuật. (Nguyễn Minh Hà)
Còn cách giải của chúng ta đã được học từ hồi THCS bằng cách đối xứng siêu vô cùng dễ đã trở nên rất quen thuộc.
4.Cho tam giác ABC và 1 đường tròn (O) nằm trong tam giác và tiếp xúc với 2 cạnh AB, AC. 1 đường tròn (O’) tiép xúc ngoài với (O) tại T và đi qua B,C. CMR phân giác góc BTC đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. (Proposed by Nguyễn Hữu Minh Tuấn, 11A1, Lê Quí Đôn, Đà Nẵng)
Bài này là một bài khá khó.
Trước tiên ta dùng định lí Stewart cho 1 tam giác phù hợp sau đó bạn sẽ nhận ra cần dung thêm một định lí nữa để cm đó là định lí Ptolemy mở rộng. Rồi áp dụng định lí Ceva dạng lượng giác bạn sẽ có đpcm.
5.Cho tam giác ABC nội tiếp (O). 1 đường thẳng qua O bất kì cắt các đoạn AB,AC tại M và N. F là trung điểm MN. D là trung điểm BN. E là trung điểm MC. CMR: DFOE là tứ giác nội tiếp. (Proposed by Nguyễn Hữu Minh Tuấn, 11A1, Lê Quí Đôn, Đà Nẵng)
Bài này sử dụng định lí Pascal bằng cách kéo dài BO, CO cắt đường tròn (O) tại K, H. Sau đó cm HM,KN, (O) đồng qui (bằng Pascal) => đpcm
6.Cho tam giác ABC tâm nội tiếp I, đường cao AH và trung điểm 2 cạnh AB, AC là M và N. Trên tia BA, CA lấy E và F sao cho BE = CF. FK vuông góc IM và EP vuông góc với IN (K,P lần lượt thuộc IM và IN) CMR: FK, EI, AH đồng qui (Proposed by Nguyễn Hữu Minh Tuấn, 11A1, Lê Quí Đôn, Đà Nẵng)
Bài này sử dụng định lí Carnot
7.Cho 2 đường tròn trực giao (O_1) và (O_2) cắt nhau tại A và B. D là một điểm thuộc tròn tròn (O_2) sao cho đường vuông góc với O_1D tại D cắt tia AB tại S. O_1S cắt đường tròn (O_1) tại K. CMR: tứ giác KBDS nội tiếp(Proposed by Lê Hữu Phước, 11A1, Lê Quí Đôn, Đà Nẵng)
Bài này chỉ cần sử dụng kiến thức về đường tròn Apolonius
8.Cho (O) và dây cung AB, đường kính MN vuông góc với AB. 2 đường tròn (O_1) và (O_2) tiếp xúc với AB tại điểm C và 2 dường tròn nằm trên 2 nửa mặt phẳng khác nhau bờ là dường thẳng AB (M,O_1 cùng thuộc 1 nửa mặt phẳng). 2 đường tròn (O_1) và (O_2) tiếp xúc với (O) lần lượt tại E và F. CMR: MO_1, NO_2, EF đồng qui (Proposed by Nguyễn Hữu Minh Tuấn, 11A1, Lê Quí Đôn, Đà Nẵng)
Bài này sử dụng dùng định lí Pappus

9.Cho (O) ngoại tiếp tam giác ABC. A_1,B_1,C_1 lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. P là một điểm thuộc đường tròn. PA_1, PB_1, PC_1 cắt đường tròn tại A_2,B_2,C_2. S_1 là diện tích tam giác được tạo bởi 3 đường thẳng AA_2, BB_2,CC_2. S là diện tích tam giác ABC. CMR: S_1=(1/2)S(Proposed by Nguyễn Hữu Minh Tuấn, 11A1, Lê Quí Đôn, Đà Nẵng)
Bài này chỉ cần dùng Pascal cm mấy cái thẳng hàng rồi dùng diện tích dơn giản để cm.